05 / МАТЕМАТИКА МАШИНЫНе шифр, а движущаяся перестановка
«Энигма» работает не с числами в привычном смысле, а с перестановками алфавита. Каждая деталь взаимно однозначно переименовывает 26 символов, а машина соединяет эти переименования в одну длинную композицию.
Ниже — строгая модель для одного фиксированного положения роторов. После нажатия состояние меняется, и строится уже другая перестановка.
Es = As−1 ◦ U ◦ As
Es — полное шифрование при состоянии s; U — рефлектор; As — прямой путь через штекеры и роторы. Это сопряжение перестановки: машина «оборачивает» рефлектор всеми преобразованиями прямого и обратного пути.
I / АЛФАВИТ КАК КОЛЬЦОВсе буквы становятся остатками
Полагаем Σ = ℤ/26ℤ и кодируем A=0, B=1, …, Z=25. Поворот ротора — обычное сложение по модулю 26.
Tp(x) = x + p (mod 26)Если неподвижная распайка ротора — перестановка R, то при смещении p она выглядит так:
Rp = T−p ◦ R ◦ TpПРОЩЕСначала мысленно поворачиваем входной алфавит, проходим по проводке, затем возвращаем шкалу назад.
II / ГРУППА S₂₆Композиция перестановок
Штекерная панель P, роторы RI, RII, RIII и рефлектор U — элементы симметрической группы S₂₆. При правостороннем чтении:
As = RI,p₁ ◦ RII,p₂ ◦ RIII,p₃ ◦ PПолный путь равен As−1UAs, потому что после рефлектора ток проходит обратные перестановки в обратном порядке.
ПРОЩЕЭто как надеть на рефлектор несколько кодирующих оболочек, а после отражения снять их строго в обратном порядке.
III / ИНВОЛЮЦИЯПочему та же машина расшифровывает
Рефлектор состоит из 13 пар контактов, поэтому U²=id. Из главной формулы немедленно следует:
Es² = As−1U²As = idПри одинаковом состоянии повторное применение E возвращает исходную букву. Более того, сопряжение сохраняет цикловую структуру: Es тоже состоит ровно из 13 транспозиций и не имеет неподвижных точек.
ПРОЩЕЕсли A превратилась в G, то при тех же настройках G превратится в A. И ни одна буква не может превратиться сама в себя.
IV / ПЕРЕХОД СОСТОЯНИЯШаг — не идеальный одометр
Пусть состояние q=(l,m,r), а nM и nR — позиции пазов среднего и правого роторов. Перед замыканием цепи:
δL=[m=nM], δM=[r=nR]∨[m=nM], δR=1q′ = q + (δL, δM, 1) mod 26Квадратные скобки — индикатор: 1, если условие истинно, иначе 0. Условие m=nM одновременно двигает левый и средний роторы — так возникает двойной шаг.
ПРОЩЕПравый диск идёт всегда; средний иногда делает два шага подряд; левый двигается, когда средний проходит свой паз.